【よしなく宣伝】
2012/12/01 〜 2012/12/25TeX & LaTeX Advent Calendar
こちらは平常運航。
* * *
以前に「普通の言語から変換して TeX プログラムを作る」という方法論について解説した。今日からは、具体的な変換の例をいくつか見ていくことにする。最初の例は「素因数分解」である。
Lua で「素因数分解」してみた
元となる Lua のプログラムは次の通り。factorize(n) で n の素因数分解を表示する。test_factorize() はテスト用の関数で、2 から 100 までの素因数分解を表示する。((なお、io.write() は、print() と異なり、出力に改行文字を付けない。))
[tactorize0.lua]
-- factorize0.lua -- [変数一覧] -- 真偽値値: fac_head, fac_stop -- 整数値: nn, n, k, e, q, r --(公開) test_factorize() -- 2から100までの素因数分解を出力する. function test_factorize() for nn = 2, 100 do io.write(nn.." = ") factorize(nn) io.write("\n") end end --(公開) factorize(整数n) -- nを素因数分解した式を出力する. function factorize(_1) -- n : 未分解の整数 -- k : 試行する除数 -- fac_head : 未出力の状態か？ -- fac_stop : 停止するか？ n = _1; fac_head = true fac_try(2) k = 3; fac_stop = false while not fac_stop do fac_try(k) k = k + 2 end if n > 1 then fac_out(n, 1) end end -- int_divide(整数x,整数y) -- xをyで整除した時の商と余りを返す. function int_divide(_1, _2) return math.floor(_1 / _2), _1 % _2 end -- fac_try(整数x) -- 除数xにおける試行. function fac_try(_1) -- e : 指数 -- q : 整除の商 -- r : 整除の余り e = 0 while true do q, r = int_divide(n, _1) if r == 0 then n = q; e = e + 1 else break end end fac_out(_1, e) -- 未分解の数(n)が現在の除数より小さい場合は -- nは素数または1であり分解は完了している if n < _1 then fac_stop = true end end -- fac_out(整数p,整数e) -- 素因数pの項を出力する. eは指数. function fac_out(_1, _2) -- 指数0は出力しない if _2 == 0 then return end -- 先頭以外では「x」を出力 if fac_head then fac_head = false else io.write(" x ") end -- eが1なら「p」、それ以外は「p^e」と出力 io.write(_1) if _2 > 1 then io.write("^".._2) end end -- メイン test_factorize()
ただし、この最初の段階で、幾つかの「変換」を済ませた形で記述している。
- ローカル変数を使わず、グローバル変数のみを用いている。
- 関数の引数は
_1、_2、……の名前にしている。 - 整除の商と余りは TeX では同時に得られる。それを見越して、「商と余りを返す関数」
int_divide()を用意している。
プログラムの出力（test_factorize() の出力）は次の通り。
2 = 2 3 = 3 4 = 2^2 5 = 5 6 = 2 x 3 ……(92行省略)…… 99 = 3^2 x 11 100 = 2^2 x 5^2
これを、TeX に直す直前の形に変換したのが次のプログラム。
[factorize1.lua]
-- factorize0.lua -- [変数一覧] -- 真偽値値: fac_head, fac_stop -- 整数値: nn, n, k, e, q, r --(公開) test_factorize() function test_factorize() nn = 1 while nn < 100 do nn = nn + 1 io.write(tostring(nn).." = ") factorize(nn) io.write("\n") end end --(公開) factorize(整数n) function factorize(_1) n = _1; fac_head = true fac_try(2) k = 3; fac_stop = false while (fac_stop and 1 or 0) == 0 do -- (*1) fac_try(k) k = k + 2 end if n > 1 then fac_out(n, 1) end end -- int_divide(整数x,整数y) function int_divide(_1, _2) -- (*2) q = 商, r = 余り とする q = _1; q = math.floor(q / _2) r = -q; r = r * _2; r = r + _1 end -- fac_try(整数x) -- 除数xにおける試行. function fac_try(_1) e = 0; r = 0 while r == 0 do -- (*3) 少し細工する int_divide(n, _1) -- q, r に返る if r == 0 then n = q; e = e + 1 end end fac_out(_1, e) if n < _1 then fac_stop = true end end -- fac_out(整数p,整数e) function fac_out(_1, _2) if _2 > 0 then if fac_head then fac_head = false else io.write(" x ") end io.write(tostring(_1)) if _2 > 1 then io.write("^"..tostring(_2)) end end end -- メイン test_factorize()
もちろん、出力は元の factorize0.lua と同じである。次の点を改修している。
- for 文を while 文に直した。
- break の除去を行った。
- 関数を手続きに変換した。
- (*1) の行に奇妙な式がある。この while 文の条件部は元々は
not fac_stopであったが、TeX では（\@whilenumだけを使うという前提では）条件部には整数の式を書く必要がある。従って、三項演算子((c and t or fは Lua で三項演算子を模倣するためのイディオム。C 言語でのc ? t : fに相当する。))を用いて真偽値を整数値（0 か 1）に変換した上で 0 との等式比較としている。 - (*2) で関数を手続きに変換する際、「実際の実行での値の格納先である
q,rに直接代入する」という方式を用いた。 - (*3) のループは元々は「
r == 0でない」という条件で末尾で抜け出す。これを「r == 0」の条件の whlie ループ（先頭判定）に変えるとともに、初回にループに入ることを保証するために予めr = 0の代入を行った。
TeX で「素因数分解」してみた
そして最終的に TeX（on LaTeX）のプログラムに変換したのがこれ。パッケージ名は tcfactorize、名前空間は tcfr、そして公開命令は \factorize と \testfactorize である。
[tcfactorize.sty]
% tcfactorize.sty
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\ProvidesPackage{tcfactorize}
%% 変数定義
%(真偽値)
\newif\iftcfr@fac@head
\newif\iftcfr@fac@stop
%(整数値)
\newcount\tcfr@nn
\newcount\tcfr@n
\newcount\tcfr@k
\newcount\tcfr@e
\newcount\tcfr@q
\newcount\tcfr@r
%%(公開) \testfactorize
\newcommand*{\testfactorize}{%
\par\noindent
\tcfr@nn=1
\@whilenum\tcfr@nn<100 \do{%
\advance\tcfr@nn 1
$\makebox[2em][r]{\the\tcfr@nn}=% 左辺を2em幅で出力
\factorize{\tcfr@nn}$%
\ifnum\tcfr@nn<100 \\\fi % 最後以外では改行
}%
\par
}
%%(公開) \factorize{整数n}
\newcommand*{\factorize}[1]{%
\tcfr@n=#1\relax \tcfr@fac@headtrue
\tcfr@fac@try{2}%
\tcfr@k=3 \tcfr@fac@stopfalse
\@whilenum \iftcfr@fac@stop1 \else0 \fi=0 \do{%
\tcfr@fac@try{\tcfr@k}%
\advance\tcfr@k 2
}%
\ifnum \tcfr@n>1
\tcfr@fac@out{\tcfr@n}{1}%
\fi
}
%% \tcfr@int@divide{整数x}{整数y}
\def\tcfr@int@divide#1#2{%
\tcfr@q=#1\relax \divide\tcfr@q#2\relax
\tcfr@r=-\tcfr@q \multiply\tcfr@r#2\relax \advance\tcfr@r#1\relax
}
%% \tcfr@fac@try{整数x}
\def\tcfr@fac@try#1{%
\tcfr@e=0 \tcfr@r=0
\@whilenum \tcfr@r=0 \do{%
\tcfr@int@divide{\tcfr@n}{#1}%
\ifnum \tcfr@r=0
\tcfr@n=\tcfr@q \advance\tcfr@e 1
\fi
}%
\tcfr@fac@out{#1}{\tcfr@e}%
\ifnum \tcfr@n<#1\relax
\tcfr@fac@stoptrue
\fi
}
%% \tcfr@fac@out{整数p}{整数e}
\def\tcfr@fac@out#1#2{%
\ifnum #2>0
\iftcfr@fac@head \tcfr@fac@headfalse
\else \times
\fi
\number#1\relax
\ifnum #2>1 ^{\number#2}\fi
\fi
}
\endinput- 折角 TeX で実行しているのだから、出力はしょぼい ASCII 文字列でなく格好良い TeX の数式組版で出力した。
\factorizeは数式の LaTeX テキストを出力するが、それ自身は数式モードへの切り替えを行わない（だから数式モードで実行する必要がある）ことに注意。 - 真偽値の変数は TeX ではスイッチ（
\newifで定義される if-トークン）で表される。if aaa then ... endは\ifxx@aaa ... \fiと書ける。三項演算子も TeX の if 文で書けて、例えば(fac_stop) ? 1 : 0*1は\iftcfr@fac@stop 1 \else 0 \fi*2 と置き換えられる。
[test-tcfactorize.tex]
\documentclass[a4paper]{article} \usepackage{tcfactorize} \begin{document} \testfactorize \end{document}
