今年もあと残り数時間となりました。
年越しまで、特にやることないんだけど、残念ながら \expandafter のことはあまり解らないという人は、次の問題をやってみればどうでしょうか。
なぜこれが「円周率を使わない話」になるかといえば、
太郎くんが実際に得たのは円ではないから
です。
円ではない曲線の話
pict2e パッケージを用いて描かれる曲線はすべて、3 次 Bézier 曲線というタイプのものです。ところが、真の円（または円弧）は 3 次 Bézier 曲線ではないので、pict2e では「十分に円に近く見える 3 次 Bézier 曲線の連なり」で円を代用しているのです。
pict2e による半径 1 の「円」の描画では、第 1 象限の部分（上の図の赤い部分）を 1 つの Bézier 曲線で表し、残りの部分はこれを原点を中心にして 90° ずつ回転させたもので表しています。つまり、全部で 4 つの合同な曲線をつなげているわけです。
上図が赤い曲線を取り出したものです。この曲線は
始点が P0(1,0)、制御点が P1(1,α) と P2(α,1)、終点が P3(0,1) の 3 次 Bézier 曲線
ただし、α = 4(√2 − 1) / 3
となっています。
これで、必要な情報は全て揃いました。それでは早速、太郎くんが描いた半径 1cm の「円」の面積を求めてみましょう！
これだけではあまりにも不親切なので、いくつかヒントを出します。
3 次 Bézier 曲線の式
始点が (x0,y0)、制御点が (x1,y1) と (x2,y2)、終点が (x3,y3) の 3 次 Bézier 曲線は、t をパラメタ変数とする以下に示す関数を用いて (x(t),y(t)) と表される。
曲線が囲む面積
パラメタ変数 t に関する式 (x(t),y(t)) で表される曲線の t = t0 から t1 の部分*1と原点が囲む領域（粗い言い方だが、要するに上の図の水色の部分のこと）の面積は以下の式で与えられる。
＊「えっ何これ……？ もはや全く以て TeX ネタじゃない……いくら何でもこれはひどすぎる」
ZR「というわけで、皆さん、来年も当ブログをよろしくお願いします！」
